1) перевести вк в мобильную версию: диалог примет вид _m.vk.com/mail?act=show&peer=[id юзера, с которым общаетесь]_

2) кликнуть на нужное видео, оно откроется уже без диалога

3) скачать Video DownloadHelperом, а может быть, и любым другим расширением для браузера, которое годится для потоковых, но не проверяла.